鳩ノ巣原理

数学ネタです。９９％の人にはつまんないと思います。　

さて、　

ｎ個の箱にｎ＋１羽の鳥が入ると、少なくとも1つの箱には２羽以上の鳥が入る．

これを鳩ノ巣原理、あるいはディリクレの原理といいます。例えば、４個の箱に５羽の鳥が入ろうとすると、少なくとも１つの箱には２羽以上の鳥が入ることになりますよね。

そう、こんなん当たり前のことです（だから「原理」なわけです）。

ところが、数学においてはこういった当たり前のことが絶大な威力を発揮することがしばしばあるのです。

１つ有名な問題を見てみましょう。

単位円周上に異なる７個の点を取ると、互いの距離が１未満の２点が少なくとも１組存在することを示せ．

図形の問題として処理できなくもないですが、鳩ノ巣原理を用いれば鮮やかに解くことができます。

解
円周を６つの円弧に等分する．
鳩ノ巣原理により、少なくとも１つの円弧上には２個以上の点が存在する．
同じ円弧上の２点の最長距離は明らかに１未満であるから、それらの点の距離も１未満であることが言える．　Q.E.D

うーむ、鮮やか。なんか、こういう特別な知識がいらない問題ってイイですよね。

・・・(；´ー`)ｿｳﾃﾞﾓﾅｲ？

ただこの鳩ノ巣原理、内容そのものは単純明快ですが、実際に証明問題で使うとなると、何が「鳩ノ巣」で何が「鳩」なのか見つけるのが結構難しいです。

最後にもいっちょ。まあ考えてみてください。　

あるパーティで、参加者に知り合いの数（パーティ内での）を尋ねる．このとき、知り合いの数が同じであるような２人が必ず存在することを示せ．

私と同じ学科の人は、I田先生の応用数学演習のレポートで見たはずです。こういうことだったんですね。

ん？

有名な問題です。知ってる方も多いと思います。

　

３つの角がすべて直角の３角形はどんな３角形か？

　

知らない方、まあなぞなぞ気分で考えてみてください。いずれ追記で解答します。

追記　２７：１５

夜ジョイとカラオケ行ってきました。Driver's Highマジ死ぬ・・・。

こんな時間まで付き合ってくだすったtomoro＆蜜ちゃん、すんまそん(　´∀｀)

π

　

そういや先日、親から電話があり、唐突な質問が飛んできました。

　

　
　
　
　
　
「おい、円周率っちゃそもそも何か。」

　
　
　
　
　

　
・・・（°Д°；）゛

　
　
　

何の脈絡もなく「そもそも」とは一体全体何事でしょうか。

まあそれはともかく、みなさん、上の質問にぱっと答えられます？

　
　

・・・・・・　

　
　

意外とすぐには答えられんでしょう。

平面幾何学の定義では、

　
直径が１の長さの円の周の長さ

　

です。

で、これを親に言ったら

　

　
「ふーん。じゃあ、なんで３．１４１５６・・・みたいにずっと続くん？」

　
　

とりあえず小数第５位が間違ってるのは置いといて、
　
　
なんつーとんでもない質問をしてくるのでしょうかこの人は。

　

言い換えれば、

　
円周率はなぜ無理数なのか？

　

てことを訊いているわけです。

　
　
　
　
　
　
　

電話で。

　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　

長期戦覚悟ですか？

　

正直、無理です。

　

だって、

　

フランスのルジャンドルという数学者が苦労して証明したことを、

　

平々凡々な親に、

　

どうやって説明しろと？

　
　
　
　
　
　

電話で。

　
　
　
　
　

仮に私にその知識があったとしても、電話代が限界突破しますよ。

ウチの親は、たまにこうして私を戸惑わせてくれます。

●写真の人

ジョージ・ベスト（北アイルランド）　George Best

ボビー･チャールトン、デニス･ローらとともにマンチェスター・ユナイテッドの再建に貢献した６０年代のスーパースター。ウィングとしてもストライカーとしても機能したが、何よりも稲妻のようなドリブル突破が最大の持ち味だった。ピッチの中では相手DF、外ではその甘いマスクで女性陣を一網打尽にした。コノヤロウ。

-1 = 1 の謎

ちょっとした”違反”をやれば、慣れていない人（特に文系）はよく引っかかってくれる。小手試しとして、以下の数式展開のどこに誤りがあるか、多少見にくいが考えてみて欲しい。

①1 = 1　は当然成立
②両辺に任意の実数aを加えると　1 + a = 1 + a
③両辺を2乗すると　a^2 + 2a + 1 = a^2  + 2a + 1　※a^2はaの2乗という意味
④両辺のルートをとると　√(a^2 + 2a + 1) = √(a^2 + 2a + 1)
⑤少し変形して　√(a + 1)^2 = √(a(a + 2) + 1)
⑥左辺のルートをはずすと　a + 1 = √(a(a + 2) + 1)
⑦aは任意なので、a = -2　を両辺に代入すると…　-1 = 1　？？

この手の”違反”を知っている人はすぐに気付くはずだ。では、これはどうだろう？

i　を虚数単位とする。すなわち　i = √(-1)
①1/2 = 1/2　は当然成立
②マイナスは分子分母どちらに付いてもよいので　(-1)/2 = 1/(-2)
③両辺のルートをとると　√{(-1)/2} = √{1/(-2)}
④ルートを分子分母に分けて　√(-1)/√2 = √1/√(-2)
⑤i = √(-1)、また√(-2) = √2×√(-1) = √2×i　であるから　i/√2 = √1/√2×i
⑥両辺に　√2　をかけると　i/1 = 1/i
⑦これを整理すると…　-1 = 1　？？

さあ、分かるだろうか。